EPÍSTOLAS PERSAS, LAS PIRÁMIDES DE TAMERLÁN.

Pacientes lectores:

Habíamos acabado la anterior epístola afirmando que, si bien Isfahán supera a Shiraz en pasadas grandezas, también la supera en pasadas desdichas.

La mayor de toda su historia muy probablemente se la haya apuntado el conquistador turco-mongol Tamerlán, también conocido como Amir Timur, que en vida amasó a sangre y fuego un gran imperio con capital en Samarkanda (actual Uzbekistán) que incluyó todo el Irán actual.

Extensión del Imperio Timúrida a caballo entre los siglos XIV y XV.

Como represalia a un levantamiento en su contra habido en Isfahán en 1387, entró a degüello con sus tropas, la mandó saquear, ejecutó a 70.000 de sus habitantes, cortó sus cabezas y con ellas erigió dos pirámides a la entrada de la ciudad que hoy en día no se conservan.

Enunciado.

Inmediatamente surge una duda automática al conocer la anterior historia:

¿Qué tamaño alcanzaban las pirámides de Tamerlán?

A la resolución de este problema voy a dedicar esta epístola.

Consideraciones Previas.

Queremos hallar el tamaño de las pirámides de Tamerlán. Para ello necesitamos saber su altura y su anchura en la base. Como la pirámide está hecha con cabezas podremos conocer su altura si sabemos cuántas capas de cabezas la constituyen, e igualmente la anchura en la base si conocemos cuántas cabezas se alinean en un lado de dicha base.

Para no complicar los cálculos innecesariamente vamos a suponer que las cabezas son todas iguales, de 24 centímetros de mentón a coronilla por 18 de oreja a oreja. Lógicamente los constructores de la pirámide pondrían en la misma capa únicamente cabezas de tamaño similar: las de los cabezones en las capas de abajo y las de los niños en las capas de arriba. De no haber sido así la estabilidad de la construcción se hubiera visto comprometida, se habría derrumbado y no habría pasado a la historia. Los cabezudos quedarían pues compensados por los niños, así que el uso de la media propuesta puede considerarse una buena aproximación. Afortunadamente como todos sabéis la cabeza es la parte del cuerpo humano que menos crece a lo largo de la vida de una persona, así que la dispersión de los datos queda minimizada.

Estatua ecuestre de Tamerlán en Tashkent, Uzbekistán. Disculpad que no ponga una de Isfahán pero no fui capaz de encontrar dónde la tienen.

Debe suponerse por otro lado que las pirámides eran cuadrangulares regulares, es decir, de cuatro caras iguales como las de Egipto. ¿Y por qué?, os preguntaréis. Sencillamente porque mediante esta construcción cada capa puede tenderse colocando varias filas iguales y paralelas y encajando cada cabeza en el hueco que dejan entre ellas cuatro de la capa inferior. Esta solución constructiva confiere a la pirámide gran estabilidad y facilidad de ejecución, cualidades que no ofrecería en igual medida si tuviera 3 ó 5 lados.

Resolución.

Imaginemos que partimos de una base formada por un cuadrado de 4x4 cabezas. Para construir la siguiente capa de forma estable encajaríamos como hemos dicho cada cabeza en el hueco que queda entre cada cuatro cabezas de la capa inferior. Por lo tanto, el nuevo piso tendrá tantas cabezas como huecos entre cabezas tiene el piso inferior. ¿Y cuántos huecos tiene el piso de abajo? Pues 9, dispuestos en un cuadrado de 3x3. Igualmente construiríamos el siguiente piso, que sería un cuadrado de 2x2 y, finalmente, el último piso, la cúspide de la pirámide, que tendría una sola cabeza perfectamente encajada en el hueco que las cuatro inferiores dejan entre sí.

Numeremos las capas al revés, empezando por arriba. El piso 1 tiene 1x1 cabezas, el piso 2 tiene 2x2 cabezas, el piso 3 tiene 3x3 cabezas y el piso 4 tiene 4x4 cabezas. Resulta evidente que si la pirámide tuviera “n” pisos, el piso de abajo del todo tendría “n x n” cabezas, o sea, "n" cabezas al cuadrado. Por lo tanto, el número total de cabezas que contiene una pirámide cuadrangular regular de “n” pisos construida como se ha dicho será:



Dado que sabemos que cada pirámide estaba hecha con 35.000 cabezas:



Hemos reducido el cálculo a una simple suma de cuadrados decrecientes.

Hallando el valor de “n” para el cual N=35.000 encontraremos tanto la altura como la anchura de las pirámides, pues conoceremos tanto el número de capas de la pirámide como el número de cabezas en cada lado de la base.

Resultado.

Desgraciadamente no existe solución dentro del conjunto de números naturales para esta igualdad.

Efectivamente:



O sea, que:



Dicho en palabras: si las bases de las pirámides hubieran medido 46x46 habrían sobrado 2.978 cabezas. En cambio, si las bases hubieran medido 47x47 las pirámides no se habrían podido completar porque habrían faltado 1.440 cabezas.

Estatua sedente de Tamerlán en Tashkent, Uzbekistán. De nuevo pido discuplas, pero en Isfahán tampoco pude encontrar una estatua sedente.

Es difícil imaginar que un hombre como Tamerlán, que no dejaba cabos sueltos, hubiera tirado cabezas al río o dejado sus pirámides incompletas. La solución a esta incongruencia es sencilla: Timur no ordenó matar a 70.000 isfahaníes, sino a 71.440, con el fin de poder completar sus dos pirámides cuadrangulares regulares. Queda descartado que decapitase sólo a 67.022 personas porque la historia nos cuenta que llegó a 70.000.

Cada una de las pirámides tenía pues 47 capas y sus bases estaban formadas por cuadrados de 47x47 cabezas.

Antes realizar el cálculo final debe tenerse en cuenta que cada capa no gana en altura para la pirámide lo que miden las cabezas que la forman de mentón a coronilla, pues éstas quedan parcialmente embebidas en el hueco que dejan las de la capa inferior (unos 5 centímetros) así que cada capa realmente sólo gana 24 - 5 = 19 centímetros de altura. Por lo tanto:

• Altura: 0,19 x 47 = 8,93 metros.

• Anchura: 0,18 x 47 = 8,46 metros.

Problema resuelto.

Conclusiones.

Gracias a la perfección matemática hemos resuelto en esta epístola dos enigmas históricos: el número exacto de isfahaníes que Timur mandó decapitar en 1387 y las dimensiones exactas de sus dos pirámides, que debido al pequeño tamaño de las piezas usadas en su edificación debían impresionar más por el material de construcción que por sus dimensiones.

Como anécdota os puedo comentar que Tamerlán era cojo y un hombre muy constante y coherente en sus acciones, ya que el buen sabor de boca que dejó en Isfahán se repitió en multitud de lugares a todo lo largo y ancho de su imperio. Lo de la cojera quedó confirmado en 1941 cuando una misión al mando del arqueólogo y antropólogo Mijail Yerasimov exhumó el cadáver de su mausoleo en Samarkanda, descubriéndose además que medía 1,72, todo un hombrón para la época. Yerasimov reconstruyó sus facciones a partir de su calavera, dando como resultado la imagen que acompaña a este párrafo, un poco alejada de las ligeramente idealizadas esculturas uzbekas, máxime porque teniendo en cuenta la moda al uso en el Asia central de la época muy probablemente Timur habría llevado algo parecido al tocado de la imagen. Yerasimov y su equipo eran soviéticos, pues como bien sabéis Samarkanda está entre las ciudades que tienen el honor de poder escribir en los libros de su historia haber pertenecido a la Unión Soviética. Eran tiempos aquellos en que imperaban la ciencia, la razón y el progreso, y no los nacionalismos vanos, la ignorancia y el reduccionismo histórico. ¡Qué época tan oscura nos ha tocado vivir!

Corolario 1:

¿Por qué Tamerlán mandó erigir dos pirámides y no una sola construida con las alrededor de 70.000 cabezas?

¿Cuánto mediría una pirámide de aproximadamente 70.000 cabezas? ¿Quizá el doble? Veámoslo:

• Si n = 59 → N = 70.210 cabezas.

• Altura: 0,19 x 59 = 11,21 metros.

• Anchura: 0,18 x 59 = 10,62 metros.

Una ganancia de sólo 2,28 metros a pesar de que esta pirámide tiene casi el doble de piezas que una de 47 capas. Esto es debido a que con cada nueva capa que se añade el aumento de cabezas es cuadrático, mientras que el aumento de altura (19 centímetros) es sólo lineal.

Por lo tanto, es posible que aquí esté la explicación de por qué Tamerlán ordenó construir dos pirámides y no una: la ganancia de porte no hubiera sido espectacular, así que muy probablemente consideró que la impresión al pasar entre dos pirámides de casi 9 metros sería superior a la de pasar ante una sola de algo más de 11.

Corolario 2:

¿Cuántas cabezas habría tenido que cortar Tamerlán para construir una sola pirámide pero el doble de alta que las dos que ya hemos calculado?

Evidentemente:

• n' = 2n → n' = 2 x 47 = 94 capas.

• Si n = 94 → N = 281.295 cabezas.

No había suficientes habitantes en Isfahán en aquella época como para construir una pirámide de 17,86 metros, ya que el Siglo XIV había sido de gran crisis para la ciudad ya antes de la llegada de Tamerlán. Cosas de los aumentos cuadráticos. Os podéis imaginar ahora la cara que se le debió de poner al arquitecto de Keops cuando el faraón miró los planos iniciales y le dijo que su pirámide tenía que ser el doble.

Quod Erat Demonstrandum.

Bueno, ya es hora de despedirse después de una epístola inhabitualmente sesuda.

En la siguiente rendiremos al fin nuestro viaje, pero no antes de explicar todos los avatares de nuestro segundo día en Teherán, esta vez con guía y conductor a nuestro servicio.

• Hora local: 21:11.
• Temperatura: 35ºC.
• Humedad: 67%.
• Temperatura máxima: 44ºC.
• Temperatura mínima: 32ºC.

Ceterum censeo Estados Unidos esse delendam.

Seikh Iván Bin Víctor Al-Sáez